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Concept
Fonction de vraisemblance
Résumé
vignette|Exemple d'une fonction de vraisemblance pour le paramètre d'une Loi de Poisson
En théorie des probabilités et en statistique, la fonction de vraisemblance (ou plus simplement vraisemblance) est une fonction des paramètres d'un modèle statistique calculée à partir de données observées. Les fonctions de vraisemblance jouent un rôle clé dans l'inférence statistique fréquentiste, en particulier pour les méthodes statistiques d'estimation de paramètres.
Le terme de « vraisemblable » est parfois utilisé comme synonyme de « probable » dans le langage courant, mais en statistique, vraisemblance et probabilité ont des sens différents. Une probabilité représente la plausibilité d'un événement aléatoire selon un certain modèle, sans référence spécifique à des données observées. La vraisemblance décrit la plausibilité d'une valeur des paramètres d'un modèle, étant donné l'observation d'un certain nombre de réalisations d'une variable aléatoire.
En inférence bayésienne, la vraisemblance garde la même définition, mais peut être interprétée comme la densité de probabilité des données conditionnellement à une valeur des paramètres (qui sont ici vus comme une variable aléatoire) et comme une mesure de l'information apportée par les données sur la valeur des paramètres. On peut également parler de la vraisemblance d'une variable aléatoire conditionnellement à une autre variable (vraisemblance marginale), au regard des données observées.
La définition varie selon que la loi de probabilité est discrète ou continue. La fonction de vraisemblance est définie en fonction d'un vecteur de paramètres θ comme la densité des données observées par rapport à une mesure de probabilité discrète ou continue.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi discrète décrite par la fonction de masse p dépendant d'un paramètre θ. La vraisemblance L est une fonction de θ, étant donné une réalisation x de la variable aléatoire X, qui s'écrit alors :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi continue décrite par la densité de probabilité f dépendant d'un paramètre θ.
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