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Concept
Théorème de Borel-Cantelli
Résumé
Le théorème de Borel-Cantelli ou lemme de Borel-Cantelli, nommé d'après les mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli, est un résultat de théorie de la mesure très utilisé en théorie des probabilités, par exemple il peut être utilisé pour démontrer la loi forte des grands nombres.
En théorie des probabilités, ce théorème concerne une suite d'événements et énonce que :
L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite de variables aléatoires, telle que, pour tout
La somme des est finie, donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que se produise pour une infinité d'indices est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'événements définie par
En d'autres termes, on peut dire que si et seulement si l'ensemble est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout , on peut trouver tel que . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :
Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que si et seulement si « infiniment souvent » ou bien « infinitely often », d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :
Finalement, remarquons que la définition « si et seulement si appartient à une infinité de » peut induire en erreur : si par exemple toutes les parties sont égales, il se peut que appartienne à pour une infinité d'indices , et il se peut donc que appartienne à sans pour autant qu' appartienne à une infinité de (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul ).
Pour un espace mesuré général , le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :
Un espace probabilisé est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que , alors que dans le théorème général, la mesure (positive) μ n'est pas supposée finie a priori.
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MATH-432: Probability theory
The course is based on Durrett's text book
Probability: Theory and Examples.
It takes the measure theory approach to probability theory, wherein expectations are simply abstract integrals.
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