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Concept
Type d'ordre
Résumé
En mathématiques, en particulier dans la théorie des ensembles, deux ensembles ordonnés X et Y sont dits avoir le même type d'ordre s'ils sont isomorphes pour l'ordre, c'est-à-dire, s'il existe une bijection f: X → Y telle que f et son inverse soient strictement croissantes (c'est-à-dire préservent l'ordre). Dans le cas particulier où X est totalement ordonnée, la monotonie de f implique la monotonie de son inverse.
Par exemple, l'ensemble des entiers et l'ensemble des nombres entiers pairs ont le même type d'ordre, parce que la correspondance et sa réciproque préservent toutes deux l'ordre. Mais l'ensemble des entiers et l'ensemble des nombres rationnels (muni de l'ordre usuel) ne sont pas isomorphes pour l'ordre, parce que, même si les ensembles ont le même cardinal (ils sont tous les deux infinis dénombrables), il n'existe pas de bijection préservant l'ordre. À ces deux types d'ordre on peut en ajouter d'autres, comme celui de l'ensemble des nombres entiers positifs (qui a un plus petit élément), et celui des nombres entiers négatifs (qui a un plus grand élément). Les demi-intervalles fermés [0,1) et (0,1] et l'intervalle fermé [0,1] sont trois autres exemples de types d'ordre, différents des premiers cités. Au contraire, l'intervalle ouvert ]0,1[ des rationnels a le même type d'ordre que les rationnels (puisque, par exemple, fournit une bijection strictement croissante).
Comme la relation 'avoir le même type d'ordre' est une relation d'équivalence, elle partitionne la classe de tous les ensembles ordonnés dans des classes d'équivalence.
Chaque ensemble bien ordonné est équivalent pour l'ordre à exactement un nombre ordinal (voir la définition de John von Neumann des ordinaux). Les nombres ordinaux sont des représentants canoniques de leurs classes d'équivalence, et donc le type d'ordre d'un ensemble ordonné est généralement identifié par l'ordinal correspondant. Par exemple, le type d'ordre des nombres naturels est ω.
Le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné V est parfois noté ord(V).
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