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Concept
Norme (théorie des corps)
Résumé
En théorie des corps (commutatifs), la norme d'un élément α d'une extension finie L d'un corps K est le déterminant de l'endomorphisme linéaire du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx. C'est un homomorphisme multiplicatif. La notion est utilisée en théorie de Galois et en théorie algébrique des nombres.
En arithmétique, elle intervient de façon cruciale dans la théorie des corps de classes : les sous-extensions abéliennes d'une extension donnée sont essentiellement en correspondance avec des groupes de normes, c'est-à-dire l'image dans K, par la norme, de certains groupes de L.
Cette notion s'étend en une notion de norme d'un idéal de l'anneau des entiers d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps Q des rationnels), de telle façon que la norme d'un idéal principal soit égale à la norme relative sur Q d'un générateur de cet idéal. On démontre que la norme d'un idéal non nul est égale au cardinal de l'anneau quotient, et qu'elle est multiplicative. La démonstration de la finitude du groupe des classes utilise des propriétés de majoration de la norme des idéaux dans une classe donnée.
Soit K un corps commutatif, L une extension finie.
La norme, relative à l'extension L/K d'un élément α de L, est le déterminant de l'endomorphisme φ du K-espace vectoriel L qui, à x, associe l'élément αx. Elle est généralement notée NL/K(α).C'est donc un élément de K, égal au produit des racines du polynôme caractéristique χ de φ, comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χ est scindé.
Il est courant, dans les communications orales ou les forums, où un certain laxisme est autorisé, de parler de norme d'un élément algébrique sur sans référence à la donnée d'une extension L ; dans ce cas, il est entendu que la norme d'un élément algébrique α sur un corps K (ou même simplement la « norme de α » si le corps K a été auparavant précisé), est la norme de α relativement à l'extension simple . Elle est parfois notée N(α). Dans les documents écrits plus formels, cet usage est cependant évité, et on utilise la notation .
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