Lemme du serpentLe lemme du serpent, en mathématiques, et en particulier en homologie et cohomologie, est un énoncé valide dans toute catégorie abélienne ; c'est un outil des plus importants pour la construction de suites exactes, objets omniprésents en homologie et ses applications, par exemple en topologie algébrique. Les morphismes ainsi construits sont généralement appelés « morphismes connectants ».
Image (category theory)In , a branch of mathematics, the image of a morphism is a generalization of the of a function. Given a and a morphism in , the image of is a monomorphism satisfying the following universal property: There exists a morphism such that . For any object with a morphism and a monomorphism such that , there exists a unique morphism such that . Remarks: such a factorization does not necessarily exist. is unique by definition of monic. therefore by monic. is monic. already implies that is unique.
Lemme des cinqEn algèbre homologique, le lemme des cinq permet d'établir l'injectivité et la surjectivité des flèches dans les diagrammes commutatifs. Précisément : en supposant 1) que le diagramme ci-dessous est commutatif 2) que les deux lignes du diagramme sont exactes 3) que et sont des isomorphismes 4) que est un épimorphisme et un monomorphisme alors est un isomorphisme. Ceci vaut non seulement dans une catégorie abélienne (comme celle des groupes abéliens, ou celle des espaces vectoriels sur un corps fixé) mais aussi, par exemple, dans la catégorie des groupes.
Schéma noethérienEn géométrie algébrique, les schémas noethériens sont aux schémas ce que les anneaux noethériens sont aux anneaux commutatifs. Ce sont les schémas qui possèdent un certain nombre de propriétés de finitude. De nombreux résultats fondamentaux en géométrie algébrique sont montrés dans le cadre des schémas noethériens. Il est généralement considéré comme raisonnable de travailler dans la catégorie des schémas noethériens. Un schéma affine Spec A est noethérien si A est un anneau noethérien.
Théorème de MaschkeEn mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie des représentations d'un groupe fini. Ce théorème établit que si la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe, alors toute représentation se décompose en facteurs irréductibles. Il se reformule en termes de modules sur l'algèbre d'un groupe fini et possède une généralisation partielle aux groupes compacts. Ce théorème doit son nom au mathématicien allemand Heinrich Maschke.
Théorème de plongement de MitchellLe théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Ce théorème est attribué aux mathématiciens Barry Mitchell et Peter Freyd.
Catégorie préabélienneEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une catégorie préabélienne est une catégorie additive qui contient tous les noyaux et conoyaux. De manière plus détaillée, cela signifie qu'une catégorie C est pré-abélienne si: C est préadditive, c'est-à-dire enrichie sur une catégorie monoïdale de groupes abéliens (de manière équivalente, toutes les collections de morphismes d'un objet de C vers un objet de C sont des groupes abéliens et une composition de morphismes est bilinéaire) C contient tous les produits finis (de manière équivalente, tous les coproduits finis).
CoimageIn algebra, the coimage of a homomorphism is the quotient of the domain by the kernel. The coimage is canonically isomorphic to the by the first isomorphism theorem, when that theorem applies. More generally, in , the coimage of a morphism is the dual notion of the .
Regular categoryIn , a regular category is a category with and coequalizers of a pair of morphisms called kernel pairs, satisfying certain exactness conditions. In that way, regular categories recapture many properties of abelian categories, like the existence of images, without requiring additivity. At the same time, regular categories provide a foundation for the study of a fragment of first-order logic, known as regular logic. A category C is called regular if it satisfies the following three properties: C is .
Cohomologie de WeilUne cohomologie de Weil est une théorie cohomologique des variétés algébriques, à coefficients dans un corps, satisfaisant un certain jeu d'axiomes. La nécessité d'une telle théorie a été postulée par André Weil, à l'origine pour garantir une formule de Lefschetz. Weil avait suggéré que les conjectures qui portent son nom se déduiraient de l'existence d'une théorie cohomologique des variétés sur les corps finis, analogue à la théorie cohomologique à coefficients rationnels pour les variétés complexes.
