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Concept
Rapidité (relativité)
Résumé
En relativité restreinte, la rapidité ou pseudo-vitesse est une mesure du mouvement. À faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont égales (au coefficient multiplicateur c près), mais contrairement à la vitesse qui tend asymptotiquement vers la vitesse de la lumière, la rapidité continue à augmenter linéairement à l'infini. L'intérêt de la rapidité vient du fait que, de par son caractère linéaire, elle préserve la relation de la mécanique classique entre vitesse et accélération (un voyageur peut donc calculer sa rapidité en intégrant dans le temps, une mesure fournie par un accéléromètre). La rapidité permet aussi d'exprimer les transformations de Lorentz comme rotation hyperbolique dans l'espace de Minkowski.
La rapidité est une quantité sans dimension.
La rapidité est rarement utilisée dans les calculs car elle est moins pratique que la quadrivitesse dans les formules d'invariance de l'impulsion. De plus, elle nécessite de choisir un référentiel qui isole le vecteur vitesse ou de la différence des vitesses sur un seul axe.
La rapidité d'un objet par rapport à un référentiel inertiel est l'argument hyperbolique défini par :
et par :
où :
v est la vitesse dans ce référentiel ;
c la vitesse de la lumière ;
γ est le facteur de Lorentz ;
artanh la fonction réciproque de la tangente hyperbolique ;
arcosh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique ;
ln est la fonction logarithme népérien.
Soit un corps se déplaçant à la vitesse par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse par rapport à un autre référentiel R', en supposant que . La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est , calculée par :
En posant on obtient, avec l'hypothèse que et avec les formules de trigonométrie hyperbolique :
La rapidité est une des notions introduites dès par Hermann Minkowski (-). Mais celui-ci préfère employer le produit plutôt que . Le produit est aussi employé en par Arnold Sommerfeld (-) afin de réduire les transformations de Lorentz spéciales à de la trigonométrie ordinaire au moyen des angles imaginaires.
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