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Concept
Théorème de plongement de Mitchell
Résumé
Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Ce théorème est attribué aux mathématiciens Barry Mitchell et Peter Freyd.
Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche.
Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité).
Soit la catégorie des foncteurs exacts à gauche de la catégorie abélienne vers la catégorie des groupes abéliens . On construit un contravariant tel que pour tout , où est le foncteur Hom covariant tel que . Le lemme de Yoneda noud donne la nature pleine et fidéle de . On a directement l'exactitude à gauche de car est déjà exact à gauche. La preuve de l'exactitude à droite de est plus dure, on peut la retrouver dans les Lecture Notes in Mathematics 76 de R. G. Swan.
On prouve ensuite que est une catégorie abélienne en utilisant la théorie de la localisation (de Swan). C'est la partie difficile de la preuve.
Il est facile de vérifier que la catégorie abélienne est une catégorie AB5 avec un générateur
C'est en fait une catégorie de Grothendieck qui admet donc un cogénérateur .
L'anneau des endomorphismes est celui dont on a besoin pour la catégorie des R-modules.
Source officielle
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