Mécanique analytique | EPFL Graph Search

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La mécanique analytique est une formulation de la mécanique classique basée sur le calcul variationnel. La mécanique analytique s'est avérée un outil très important en physique théorique. En particulier, la mécanique quantique emprunte énormément au formalisme de la mécanique analytique. Contrairement à la mécanique d'Isaac Newton qui s'appuie sur le concept de point matériel, la mécanique analytique se penche sur les systèmes arbitrairement complexes, et étudie l'évolution de leurs degrés de libertés dans ce qu'on appelle un espace de configuration. Les lois du mouvement sont quant à elles déduites d'un principe variationnel qui, appliqué à une grandeur appelée action, donne le principe de moindre action. En substance, le principe de moindre action énonce que parmi toutes les trajectoires possibles pour relier deux points de l'espace de configuration, celle qui est effectivement parcourue par le système est celle qui donne une valeur minimale à l'action. Mécanique lagrangienne Étant donnés deux points A et B de l'espace de configuration, et une trajectoire effectivement parcourue, la donnée d'un point C sur cette trajectoire fait apparaître deux trajectoires intermédiaires et . Ces deux trajectoires étant effectivement parcourues, elles doivent nécessairement donner une valeur extrémale à l'action pour leurs points de départ et d'arrivée respectifs. La somme de ces deux actions sera alors extrémale par rapport à toutes les trajectoires possibles entre A et B passant par C, ce qui suggère que la somme de l'action entre A et C d'une part, et C et B d'autre part, est égale à l'action de la trajectoire correspondante entre A et B passant par C : En appliquant ce raisonnement à une infinité de points répartis sur une trajectoire reliant les points A et B, on peut écrire l'action ainsi : où s est la position du système dans l'espace de configuration, et ds est un élément infinitésimal de déplacement sur la trajectoire considérée. est ce qu'on appelle le lagrangien, du nom du physicien français Joseph-Louis Lagrange.

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Équations de Lagrange

vignette|Joseph-Louis Lagrange Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique. Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction. Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type : Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.

Mécanique analytique

Équation d'Euler-Lagrange

L’équation d'Euler-Lagrange (en anglais, Euler–Lagrange equation ou ELE) est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tels que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. E désignera un espace vectoriel normé, [t , t] un intervalle réel, et l'espace affine des fonctions x : [t , t] → E de classe C telles que , où x , x sont deux vecteurs fixés de E.

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