Points et parties remarquables de la frontière d'un convexe

Face à un polyèdre convexe de l'espace de dimension 3, qu'il soit familier comme un cube ou plus compliqué, on sait spontanément reconnaître les points où le convexe est « pointu », ses sommets, puis subdiviser les points restants entre points des arêtes et points des faces. Cet article présente quelques définitions qui étendent ces concepts aux ensembles convexes généraux, de dimension quelconque, à la frontière éventuellement incurvée. Une de ces généralisations, le concept de sommet, correspond à l'intuition que l'on peut avoir de cette notion sur un cube (les points d'une sphère ne seront pas des sommets de la boule qu'elle limite). Les points extrémaux peuvent pour leur part être plus nombreux, suffisamment pour permettre de reconstituer tout le convexe par leur enveloppe convexe, et ce même si sa forme est lisse (ainsi tous les points de la frontière d'une boule sont extrémaux). Après avoir énuméré trois généralisations des sommets d'un cube, l'article présente deux variantes de la hiérarchie sommet-arête-face qui coïncident pour les polyèdres convexes. Soit un convexe et un point de . On dit que est un point extrémal de lorsque est encore convexe. L'ensemble des points extrémaux d'un convexe fermé peut ne pas être fermé, même si l'intuition peut être trompeuse à cause du résultat suivant, qui devient faux à partir de la dimension : Ce théorème, dû à Hermann Minkowski, permet de reconstituer tout le convexe à partir de ses seuls points extrémaux : La démonstration n'est pas très longue, l'outil essentiel étant le théorème d'existence d'un hyperplan d'appui en tout point de la frontière d'un convexe. Il peut être généralisé à certains espaces de dimension infinie, à condition d'appliquer in fine l'opérateur de fermeture à l'enveloppe convexe. Ce type d'extension à l'analyse fonctionnelle remonte à 1940 et est l'œuvre des mathématiciens Mark Krein et David Milman. Soit un convexe et un point de . On dit que est un point exposé de lorsqu'il existe un hyperplan d'appui de vérifiant : .