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Concept
Enveloppe convexe
Résumé
L'enveloppe convexe d'un objet ou d'un regroupement d'objets géométriques est l'ensemble convexe le plus petit parmi ceux qui le contiennent.
Dans un plan, l'enveloppe convexe peut être comparée à la région limitée par un élastique qui englobe tous les points qu'on relâche jusqu'à ce qu'il se contracte au maximum. L'idée serait la même dans l'espace avec un ballon qui se dégonflerait jusqu'à être en contact avec tous les points qui sont à la surface de l'enveloppe convexe.
On supposera être dans un contexte où la notion de sous-ensemble convexe a un sens (par exemple en géométrie affine sur les réels), et l'on notera E le cadre géométrique où l'on se place.
Cette définition a un sens, puisqu'il existe au moins une partie convexe de E qui contient A, à savoir E lui-même.
De cette définition et du fait qu'une intersection quelconque d'ensembles convexes est un ensemble convexe, on déduit la caractérisation suivante de l'enveloppe convexe.
Développé de façon plus détaillée, ce résultat caractérise l'enveloppe convexe Conv(A) comme l'unique sous-ensemble de E qui vérifie les trois conditions suivantes :
Conv(A) est convexe ;
A est inclus dans Conv(A) ;
si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A, alors Conv(A) est inclus dans C.
Par exemple, Conv(∅) = ∅.
Dans la suite de cette section, on supposera que E est un espace affine réel. On peut alors énoncer :
Autrement dit : les éléments de l'enveloppe convexe de A sont exactement les points x de E qu'on peut écrire sous la forme :
expression dans laquelle p est un entier, les a sont dans A, les coefficients λ sont réels positifs et de somme
Théorème de Carathéodory (géométrie)
L'énoncé qui précède peut être amélioré en dimension finie, comme remarqué par Constantin Carathéodory en 1907. Si l'on note n la dimension de E, le théorème affirme qu'on peut utiliser des barycentres de p points en se bornant au cas p = n + 1 pour reconstituer toute l'enveloppe convexe.
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