Période de Gauss
En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, une période de Gauss est une certaine sorte de somme de racines de l'unité. Les périodes de Gauss permettent des calculs explicites dans les corps cyclotomiques, en relation avec la théorie de Galois et l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Elles sont à la base de la théorie classique appelée cyclotomie. Elles furent introduites par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss et furent à la base de sa théorie de constructions à la règle et au compas. Par exemple, la construction du polygone à 17 côtés qui fit sa réputation dépendait de l'algèbre de telles périodes, dont est un exemple lorsqu'elle est écrite sous la forme Soient un entier naturel n > 1, un sous-groupe H du groupe des inversibles modulo n, et Une période de Gauss de H est une somme P des racines primitives n-ièmes de 1 de la forme ζ, où a parcourt une classe dans G suivant H. Une autre forme de cette définition peut être établie en termes de forme trace. Nous avons pour un certain sous-corps L de Q(ζ) et un certain j premier avec n. Ici, pour correspondre à la forme précédente de la définition, on prend G comme étant le groupe de Galois de Q(ζ)/Q et H celui de Q(ζ)/L. La situation est la plus simple lorsque n est un nombre premier p > 2. Dans ce cas, G est cyclique d'ordre p – 1, et possède un sous-groupe H d'ordre d pour chaque facteur d de p – 1. Par exemple, nous pouvons prendre H d'indice 2. Dans ce cas, H est constitué des résidus quadratiques modulo p. Par conséquent, un exemple d'une période de Gauss est sommée sur (p – 1)/2 termes. Il existe aussi une période P* réalisée avec les exposants des résidus non quadratiques. Il est facile de voir que nous avons puisque le côté gauche de l'équation ajoute toutes les racines primitives p-ièmes de 1. Nous savons aussi, à partir de la définition de la trace, que P est lié à une extension quadratique de Q. Par conséquent, comme Gauss le savait, P satisfait à une équation quadratique à coefficients entiers.