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Concept
Extension cyclotomique
Résumé
En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps Q des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme Q(ζ) où ζ est une racine de l'unité.
Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de Q, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes.
Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps :
pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ;
pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ;
pour les corps de fonctions...
Notons n l'ordre de ζ, c'est-à-dire que ζ est une racine primitive n-ième de l'unité, ou encore une racine du polynôme cyclotomique Φ.
Si n divise m, le n-ième corps cyclotomique Q(ζ) est un sous-corps du m-ième.
L'extension Q(ζ)/Q est de degré φ(n), où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.
L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme Φn. Elle est donc galoisienne.Cela signifie que le plus petit corps contenant une racine du polynôme contient aussi toutes les racines du polynôme. Dire que ce corps est une extension galoisienne signifie deux choses : d'une part, les polynômes minimaux de ce corps n'ont pas de racines multiples (ce qui est toujours vrai pour les extensions sur les nombres rationnels) ; et d'autre part, tous les morphismes de ce corps dans les nombres complexes ont pour image le corps lui-même.
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