Théorème des unités de Dirichlet

En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine, pour un corps de nombres K – c'est-à-dire pour une extension finie du corps Q des nombres rationnels –, la structure du « groupe des unités » (ou : groupe des inversibles) de l'anneau de ses entiers algébriques. Il établit que ce groupe est isomorphe au produit d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de rang où r désigne le nombre de morphismes de K dans R et r le nombre de paires de morphismes conjugués de K dans C à valeurs non toutes réelles. Un corps de nombres est une extension finie de Q, c'est-à-dire un sous-corps de C qui, en tant qu'espace vectoriel sur Q, est de dimension finie. Si K est un tel corps, de dimension n sur Q, le nombre de morphismes de corps (ou plongements) de K dans C est égal à n (cf. l'article « Extension séparable »). Or la composée de l'automorphisme de conjugaison et d'un plongement est encore un plongement. On a donc n = r + 2r, où r désigne le nombre des plongements à valeurs réelles et r celui des paires de plongements conjugués à valeurs non toutes réelles. Un nombre complexe est dit entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans l'anneau Z des entiers relatifs. Un groupe abélien libre de rang r est un groupe isomorphe à Z. Le théorème des unités de Dirichlet s'exprime de la manière suivante : Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques Considérons la fermeture intégrale d'un corps quadratique, c'est-à-dire l'anneau des entiers algébriques d'une extension quadratique de Q. (Une démonstration directe du théorème dans ce cas particulier est donnée dans l'article détaillé.) On a donc ici : r + 2r = 2. Si cet anneau est inclus dans le corps des réels, r est nul donc r est égal à 2. Le groupe est isomorphe à {1, –1}×Z. Cette situation est par exemple celle des entiers du corps quadratique Q(). L'équation de Pell-Fermat se résout à l'aide de la détermination du groupe des unités de l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel. Sinon, r est égal à 1 et r est nul.