Anneau des entiers

En algèbre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir à partir de tout corps de nombres en considérant ses éléments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de est . Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres. La notion peut en fait être étendue à d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interprétation géométrique. Élément entier Soit K un corps de nombres. Un élément de K est dit entier s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans . L'ensemble des éléments entiers de K est un anneau, noté et appelé l'anneau des entiers de K. Une définition équivalente est que est l'unique ordre maximal de K. L'anneau est un ordre, en particulier un -module de type fini sans torsion, possédant donc une base, appelée base intégrale. Si est une telle base, le nombre n est le degré de l'extension . L'anneau est un anneau de Dedekind, et possède donc la propriété de factorisation unique des idéaux. Les unités forment un -module de type fini par le théorème de Dirichlet. Le sous-groupe de torsion de est constitué des racines de l'unité. Si est une extension finie d'un corps de nombres, alors la fermeture intégrale de dans K coïncide avec . Soit d un entier sans facteur carré et soit (qui est un corps quadratique si d ≠ 1). Alors, O est un anneau d'entiers quadratiques, égal à si (pour d = –1, c'est l'anneau des entiers de Gauss) ; si (en particulier, ). Plus généralement, soient m et n deux entiers sans facteur carré, , et (qui est un si m et n sont différents de 1 et distincts). Alors, L'anneau des entiers du n-ième corps cyclotomique est , et celui de son sous-corps réel maximal est . Si K est un corps local non archimédien, l'anneau O de ses entiers (défini de la même façon que pour un corps de nombres) est égal à sa boule unité fermée.