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Concept
Anneau des entiers
Résumé
En algèbre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir à partir de tout corps de nombres en considérant ses éléments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de est . Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres. La notion peut en fait être étendue à d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interprétation géométrique.
Élément entier
Soit K un corps de nombres. Un élément de K est dit entier s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans . L'ensemble des éléments entiers de K est un anneau, noté et appelé l'anneau des entiers de K.
Une définition équivalente est que est l'unique ordre maximal de K.
L'anneau est un ordre, en particulier un -module de type fini sans torsion, possédant donc une base, appelée base intégrale. Si est une telle base, le nombre n est le degré de l'extension .
L'anneau est un anneau de Dedekind, et possède donc la propriété de factorisation unique des idéaux.
Les unités forment un -module de type fini par le théorème de Dirichlet.
Le sous-groupe de torsion de est constitué des racines de l'unité.
Si est une extension finie d'un corps de nombres, alors la fermeture intégrale de dans K coïncide avec .
Soit d un entier sans facteur carré et soit (qui est un corps quadratique si d ≠ 1). Alors, O est un anneau d'entiers quadratiques, égal à
si (pour d = –1, c'est l'anneau des entiers de Gauss) ;
si (en particulier, ).
Plus généralement, soient m et n deux entiers sans facteur carré, , et (qui est un si m et n sont différents de 1 et distincts). Alors,
L'anneau des entiers du n-ième corps cyclotomique est , et celui de son sous-corps réel maximal est .
Si K est un corps local non archimédien, l'anneau O de ses entiers (défini de la même façon que pour un corps de nombres) est égal à sa boule unité fermée.
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Corps de nombres
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Prime element
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Anneau de Dedekind
thumb|Richard Dedekind définit et établit les bases de la théorie des anneaux portant maintenant son nom. En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau commutatif disposant de propriétés particulières (voir aussi anneau de Dedekind non commutatif). Sa formalisation initiale a pour objectif la description d'un ensemble d'entiers algébriques, ce concept est aussi utilisé en géométrie algébrique. Les anneaux de Dedekind doivent leur origine à la théorie algébrique des nombres.
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