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Concept
Coefficient binomial
Résumé
En mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. On les note - qui se lit « k parmi n » - ou , la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison »
Les coefficients binomiaux s'expriment à l'aide de la fonction factorielle :
Ils interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc. On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.
Le coefficient binomial se lit « k parmi n » en français, mais « n choose k » en anglais. Cette inversion de l'ordre de n et k se retrouve dans les langages informatiques ; par exemple, se note :
binom(n,k) ou comb(n,k) dans les modules math ou scipy de Python
binomial(n,k) en Maple
Binomial[n,k] en Mathematica
\binom{n}{k} ou n /choose k en LaTex
L'expression du nombre de parties à k éléments, c'est-à-dire du nombre de k-combinaisons dans un ensemble à n éléments, se détermine en calculant de deux façons différentes le nombre de k-arrangements dans cet ensemble, à savoir
La confrontation des deux calculs donne l'expression algébrique de , pour k variant de 0 à n :
en particulier, (dans un ensemble à n éléments, il y a exactement une partie à 0 élément : l'ensemble vide) et de même, .
Si k est strictement négatif ou strictement supérieur à n, le coefficient binomial est nul.
Exemple : Dans un ensemble à 4 éléments {a,b,c,d}, il y a parties à deux éléments, à savoir : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}.
Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux : pour tout couple (n,k) d'entiers naturels,
On la démontre classiquement par un raisonnement combinatoire élémentaire, mais on peut aussi utiliser la forme factorielle.
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