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Concept
Opérateur de décalage
Résumé
Les opérateurs de décalage (en anglais : les shifts) sont des opérateurs linéaires qui interviennent en analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques.
Le plus souvent mentionné est l'opérateur de décalage unilatéral, un opérateur borné non normal particulier, sur un espace de Hilbert muni d'une base hilbertienne infinie dénombrable.
Tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie (sur K = R ou C) est de dimension hilbertienne dénombrable, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à l'espace l(I) des suites de carré sommable à valeurs dans K, indexées par un ensemble I infini dénombrable, par exemple I = N ou Z.
Le décalage unilatéral, ou shift unilatéral, ou simplement shift, est l'opérateur
Le décalage bilatéral est l'opérateur
Le shift unilatéral S est donc la restriction du shift bilatéral W à l(N), vu comme sous-espace de l(Z) en complétant par des zéros toute suite indexée par N pour la transformer en une suite indexée par Z.
Le shift bilatéral W est un opérateur unitaire. Son spectre est le cercle unité tout entier. Aucune de ses valeurs spectrales n'est valeur propre.
Le shift unilatéral S est une isométrie non surjective : son est l'ensemble des suites de l(N) de premier terme nul.
Son adjoint est
donc SS = id tandis que SS est la projection orthogonale sur l'image de S.
Tout opérateur unitaire est à distance 2 de S.
Le spectre de S est le disque unité fermé. Aucune valeur spectrale n'est valeur propre et l'ensemble des valeurs propres approchées est le cercle unité. L'ensemble des valeurs spectrales résiduelles est donc le disque ouvert.
Le spectre de S* est également le disque unité fermé et le cercle unité est encore l'ensemble des valeurs propres approchées mais cette fois, tout élément du disque ouvert est une valeur propre, le sous-espace propre associé à λ étant la droite vectorielle des suites géométriques de raison λ.
Le shift S est un opérateur de Fredholm (d'indice –1), autrement dit (cf. Théorème d'Atkinson) son image π(S) dans l'algèbre de Calkin est inversible.
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