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Concept
Multiplication operator
Résumé
In operator theory, a multiplication operator is an operator Tf defined on some vector space of functions and whose value at a function φ is given by multiplication by a fixed function f. That is,
for all φ in the domain of Tf, and all x in the domain of φ (which is the same as the domain of f).
This type of operator is often contrasted with composition operators. Multiplication operators generalize the notion of operator given by a diagonal matrix. More precisely, one of the results of operator theory is a spectral theorem that states that every self-adjoint operator on a Hilbert space is unitarily equivalent to a multiplication operator on an L2 space.
Consider the Hilbert space X = L2[−1, 3] of complex-valued square integrable functions on the interval . With f(x) = x2, define the operator
for any function φ in X. This will be a self-adjoint bounded linear operator, with domain all of X = L2[−1, 3] and with norm 9. Its spectrum will be the interval (the range of the function x→ x2 defined on ). Indeed, for any complex number λ, the operator Tf − λ is given by
It is invertible if and only if λ is not in , and then its inverse is
which is another multiplication operator.
This can be easily generalized to characterizing the norm and spectrum of a multiplication operator on any Lp space.
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Proximité ontologique
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Espace de Hilbert
vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
Opérateur de décalage
Les opérateurs de décalage (en anglais : les shifts) sont des opérateurs linéaires qui interviennent en analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques. Le plus souvent mentionné est l'opérateur de décalage unilatéral, un opérateur borné non normal particulier, sur un espace de Hilbert muni d'une base hilbertienne infinie dénombrable. Tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie (sur K = R ou C) est de dimension hilbertienne dénombrable, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à l'espace l(I) des suites de carré sommable à valeurs dans K, indexées par un ensemble I infini dénombrable, par exemple I = N ou Z.
Calcul fonctionnel
En mathématiques, un calcul fonctionnel est une théorie permettant d'étendre à des opérateurs une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes. Ces théories font désormais partie du domaine de l'analyse fonctionnelle, et sont également liées à la théorie spectrale. Si f est par exemple une fonction réelle de variable réelle, et si M est un opérateur, l'expression f(M) n'a pas de sens à proprement parler, et lui en donner un, outre qu'en général il n'y a aucune façon naturelle d'y parvenir, est un abus de notation.