Application non expansive

En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application 1-lipschitzienne. Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, qui sont les applications k-lipschitziennes pour un k < 1. Contrairement aux applications contractantes, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe (par exemple, une translation de vecteur non nul est non expansive et n'a pas de point fixe). Par ailleurs, même si une application non expansive T a un point fixe, une suite d'itérés T(x) ne converge pas nécessairement vers un tel point (c'est le cas pour une symétrie centrale) ; on peut toutefois obtenir des résultats de convergence vers un point fixe d'au moins deux manières : soit en imposant des conditions plus restrictives sur l'application (sans toutefois aller jusqu'à la contraction), soit en modifiant la suite des itérés. Soient un espace normé, un fermé de et une application (non nécessairement linéaire). On dit que est non expansive si Si l'espace est un espace de Hilbert, on dit que est si Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone. On rappelle qu'un espace strictement convexe est un espace normé dans lequel : . On s'intéresse ici, pour une application non expansive T, à la convergence des « approximations successives » T(x) vers un point fixe éventuel. Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.