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Concept
Application lipschitzienne
Résumé
En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure, en valeur absolue, à une constante appelée constante de Lipschitz.
Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.
thumb|upright=1.8|alt=Illustation graphique avec un cône|Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.
Soient E une partie de R, une application et k un réel positif.
On dit que f est k-lipschitzienne si
Soient et des espaces métriques, une application et k un réel positif.
On dit que f est k-lipschitzienne si
f est dite lipschitzienne s'il existe k ≥ 0 tel que f soit k-lipschitzienne.
S'il existe de tels k alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de f.
Notons Lip (f) cette constante : on a
f est dite contractante s'il existe un tel que f soit k-lipschitzienne, autrement dit si Lip (f) < 1.
f est dite localement lipschitzienne si pour tout point x de E, il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à V soit lipschitzienne (pour une certaine constante k qui peut dépendre de V, donc de x).
Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.
Corollaires
Toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne.
Par conséquent, toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne.
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue.
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