Espace métrique

Résumé

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géom

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_m%C3%A9trique

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Using arguments developed by De Giorgi in the 1950's, it is possible to prove the regularity of the solutions to a vast class of variational problems in the Euclidean space. The main goal of the present thesis is to extend these results to the more abstract context of metric spaces with a measure. In particular, working in the axiomatic framework of Gol'dshtein – Troyanov, we establish both the interior and the boundary regularity of quasi-minimizers of the p-Dirichlet energy. Our proof works for quite general domains, assuming some natural hypotheses on the (axiomatic) D-structure. Furthermore, we prove analogous results for extremal functions lying in the class of Sobolev functions in the sense of Hajłasz – Koskela, i.e. functions characterized by the single condition that a Poincaré inequality be satisfied. Our strategy to prove these regularity results is first to show that, in a very general setting, the (Hölder) continuity of a function is a consequence of three specific technical hypotheses. This part of the argument is the essence of the De Giorgi method. Then, we verify that for a function u which is a quasi-minimizer in an axiomatic Sobolev space or an extremal Sobolev function in the sense of Hajłasz – Koskela, these technical hypotheses are indeed satisfied and u is thus (Hölder) continuous. In addition to that, we establish the Harnack's inequality for these extremal functions, and we show that the Dirichlet semi-norm of a piecewise-extremal function is equivalent to the sum of the Dirichlet semi-norms of its components.

EPFL2006

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Scaled Alexander-Spanier Cohomology and Lqp Cohomology for Metric Spaces

Luc Genton

EPFL2014

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This work is dedicated to the study of Borel equivalence relations acting on Borel fields of CAT(0) metric spaces over a standard probability space. In this new framework we get similar results to some theorems proved recently by S. Adams-W. Ballmann or N. Monod concerning groups of isometries of CAT(0) spaces. In Chapter 1, we build several Borel structures on a variety of fields before dealing in particular with Borel fields of CAT(0) spaces. Chapter 2 discusses the notion of an action for an equivalence relation on a field of metric spaces and gives several examples. We also introduce a definition of amenability for equivalence relations in terms of invariant section following an idea of R.J. Zimmer. Chapter 3 deals with the action of an amenable equivalence relation and shows that such a relation cannot act without fixing a section at infinity or preserving a subfield of Euclidean spaces. In Chapter 4, we show that if an equivalence relation is generated by two commuting groups and acts without fixing a section at infinity, then the field splits equivariantly and isometrically as a product. Using this result we also show that equivalence relations containing two coamenable subrelations cannot act without fixing a section at infinity or preserving a subfield of Euclidean spaces.

EPFL2010

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