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Concept
Espace métrique
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points.
Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière.
L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.
La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle.
Le concept d'espace métrique a été formulé la première fois par le mathématicien français René Maurice Fréchet dans sa thèse soutenue en 1906.
Par souci de simplicité, un espace métrique sera parfois désigné uniquement par l'ensemble et non par le couple lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la distance sous-jacente .
On remarque qu'une boule, ouverte ou fermée, n'est jamais vide car contient toujours son centre . En revanche une sphère peut être vide.
Il est parfois commode de définir la notion de boule (ouverte ou fermée) épointée : Il s'agit de la boule, définie comme précédemment, privée de son centre. Par exemple la boule ouverte épointée de rayon r et de centre a désigne l'ensemble :
Soit un espace métrique. On définit l'ensemble constitué de toutes les unions (quelconques) possibles de boules ouvertes, plus précisément :
où l'on considère qu'une union vide (lorsque ) vaut l'ensemble vide .
Source officielle
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