Carré gréco-latin

Un 'carré gréco-latin' ou carré eulérien d'ordre n, sur deux ensembles G et L de chacun n symboles, est un tableau carré de n lignes et n colonnes, contenant les n couples de , et où toute ligne et toute colonne contient exactement une fois chaque élément de L (en première position dans l'un des n couples) et chaque élément de G (en seconde position). Il s'agit de la superposition de deux carrés latins orthogonaux l'un à l'autre. On dit aussi « carré bilatin ». Le nom « gréco-latin » vient du fait que l'on utilisait souvent pour G et L le début des alphabets grec et latin. vignette|Un carré gréco-latin d'ordre 4. Considérons les deux carrés latins d'ordre 4 suivants, sur les ensembles L = {A, B, C, D} et G = {α, β, γ, δ} : Leur superposition (ci-contre) est un carré gréco-latin car aucun couple de L × G n'est répété (donc chaque couple apparaît une fois et une seule) : on dit que les deux carrés latins sont orthogonaux. Remplaçons le second des deux carrés latins ci-dessus par le suivant : Il n'est plus orthogonal au premier, c'est-à-dire que leur superposition ne donne pas un carré gréco-latin : On remarque en effet que quatre couples apparaissent deux fois (et que quatre sont absents). Une édition posthume (1725) des Recreations mathematiques et physiques de Jacques Ozanam propose (vol. 4, ) de construire un carré gréco-latin d'ordre 4, dans un casse-tête formulé en termes de cartes à jouer : le problème est de prendre tous les as, rois, dames et valets d'un jeu standard et de les disposer sur une grille 4×4 de telle sorte que chaque ligne et chaque colonne contienne les quatre enseignes (trèfle , carreau , cœur , pique ) et les quatre valeurs. Il y a plusieurs solutions. En 1779, le mathématicien suisse Leonhard Euler définit et étudie en détail les carrés gréco-latins d'ordre n, sur les alphabets grec et latin puis sur les entiers strictement positifs. Il produit des méthodes pour en construire si n est impair ou multiple de 4. Il reste donc à traiter le cas où n est congru à 2 modulo 4.