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Concept
Suite à discrépance faible
Résumé
En mathématiques, une suite à discrépance faible est une suite ayant la propriété que pour tout entier N, la sous-suite x1, ..., xN a une discrépance basse.
Dans les faits, la discrépance d'une suite est faible si la proportion des points de la suite sur un ensemble B est proche de la valeur de la mesure de B, ce qui est le cas en moyenne (mais pas pour des échantillons particuliers) pour une suite équidistribuée. Plusieurs définitions de la discrépance existent selon la forme de B (hypersphères, hypercubes, etc.) et la méthode de calcul de la discrépance sur B.
Les suites à discrépance faible sont appelées quasi aléatoires ou sous-aléatoires, en raison de leur utilisation pour remplacer les tirages de la loi uniforme continue.
Le préfixe « quasi » précise ainsi que les valeurs d'une suite à discrépance faible ne sont pas aléatoires ou pseudo-aléatoires, mais ont des propriétés proches de tels tirages, permettant ainsi leur usage intéressant dans la méthode de quasi-Monte-Carlo.
La discrépance ou discrépance extrême d'un ensemble P = {x1, ..., xN} est définie (en utilisant les notations de Niederreiter) par
avec
λs est la mesure de Lebesgue de dimension s,
A(B; P) est le nombre de points de P appartenant à B,
J est l'ensemble des pavés de dimension s, de la forme
avec .
La discrépance à l'origine DN(P) est définie de façon similaire, mis à part que la borne inférieure des pavés de J est fixée à 0 :
avec J l'ensemble des pavés de dimension s, de la forme
où ui est l'intervalle semi-ouvert [0, 1[.
On définit également la discrépance isotrope JN(P) :
avec la famille des sous-ensembles convexes du cube unité fermé de dimension s.
On a les résultats suivants
On note Īs le cube unitaire de dimension s,
Soit f une fonction à variation bornée de variation de Hardy-Krause V(f) finie sur Īs.
Alors pour tout x1, ..., xN dans Is = [0, 1[ × ... × [0, 1[
L'inégalité de Koksma-Hlawka est consistante dans le sens où pour tout ensemble de points x1,...
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