In mathematics, the Lerch zeta function, sometimes called the Hurwitz–Lerch zeta function, is a special function that generalizes the Hurwitz zeta function and the polylogarithm. It is named after Czech mathematician Mathias Lerch, who published a paper about the function in 1887.
The Lerch zeta function is given by
A related function, the Lerch transcendent, is given by
The transcendent only converges for any real number , where:
or
and .
The two are related, as
The Lerch transcendent has an integral representation:
The proof is based on using the integral definition of the Gamma function to write
and then interchanging the sum and integral. The resulting integral representation converges for Re(s) > 0, and Re(a) > 0. This analytically continues to z outside the unit disk. The integral formula also holds if z = 1, Re(s) > 1, and Re(a) > 0; see Hurwitz zeta function.
A contour integral representation is given by
where C is a Hankel contour counterclockwise around the positive real axis, not enclosing any of the points (for integer k) which are poles of the integrand. The integral assumes Re(a) > 0.
A Hermite-like integral representation is given by
for
and
for
Similar representations include
and
holding for positive z (and more generally wherever the integrals converge). Furthermore,
The last formula is also known as Lipschitz formula.
The Lerch zeta function and Lerch transcendent generalize various special functions.
The Hurwitz zeta function is the special case
The polylogarithm is another special case:
The Riemann zeta function is a special case of both of the above:
Other special cases include:
The Dirichlet eta function:
The Dirichlet beta function:
The Legendre chi function:
The polygamma function:
For λ rational, the summand is a root of unity, and thus may be expressed as a finite sum over the Hurwitz zeta function. Suppose with and . Then and .
Various identities include:
and
and
A series representation for the Lerch transcendent is given by
(Note that is a binomial coefficient.
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La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout s et z < 1 par : Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble C des nombres complexes. Les cas particuliers s = 2 et s = 3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.
En mathématiques, la fonction zêta de Lerch, ou fonction zêta de Hurwitz-Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme, nommée d'après le mathématicien Mathias Lerch. Elle est définie comme somme d'une série comme suit : La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule : par l'identité : La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par : Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêt
vignette|Fonction zêta de Hurwitz En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta. Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 : Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1. est la fonction zêta de Riemann. où Γ désigne la fonction Gamma.
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