Centre (géométrie)

En géométrie, la notion de centre (du grec κέντρον) d'un objet ou d'une figure généralise celle de milieu d'un segment, de centre d'un cercle ou d'une sphère. Le centre d'un cercle (ou d'une sphère) étant à la fois son centre de symétrie, son centre de rotation, son centre de gravité, et le point équidistant de chacun de ses points, ces diverses caractérisations permettent d'étendre la notion de centre à de larges familles d'objets. vignette|Objets à symétrie centrale. Lorsque l'objet est invariant par une unique symétrie centrale, le centre de l'objet est le centre de cette symétrie. Dans le plan, on trouve dans ce cas les segments de droite, les cercles et les disques, les carrés, et plus généralement les polygones réguliers avec un nombre pair de sommets, les rectangles et les losanges, et plus généralement les parallélogrammes, les ellipses et les hyperboles (dites "coniques à centre"). Exemples de courbes à symétrie centrale : les courbes d'équation cartésienne avec , par exemple si est polynomiale homogène, les courbes paramétrées avec antipériodiques (), les courbes d'équation polaire avec ou . vignette|La spirale de Fermat, d'équation polaire possède un centre de symétrie. Dans l'espace, on trouve les sphères et les boules (associées à une norme), les parallélépipèdes, les quadriques à centre. Dans le plan, lorsque le groupe des rotations laissant l'objet globalement invariant n'est pas réduit à l'identité et est formé de rotations de même centre, le centre de l'objet est le centre commun à ces rotations. En particulier, un objet plan ayant exactement axes de symétrie concourants est à symétrie de rotation. Les symétries centrales étant des rotations d'angle plat, ce cas englobe le précédent, mais on y trouve cette fois tous les polygones réguliers, dont le triangle équilatéral. Dans l'espace, lorsque le groupe des déplacements laissant l'objet globalement invariant est formé de rotations d'axes concourants, le centre de l'objet est le point de concours de ces axes. On trouve dans ce cas tous les polyèdres réguliers.