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Concept
Segment (mathématiques)
Résumé
vignette|Le segment .
En géométrie, un segment de droite (souvent abrégé en « segment ») est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment. Un segment reliant deux points et est noté ou et représente la partie de la droite qui se situe « entre » les points et . Intuitivement, un segment correspond à un fil tendu entre deux points, en négligeant l’épaisseur du fil et la déformation due à son poids.
Dans le cadre de la géométrie affine sur le corps des nombres réels, le segment peut recevoir une définition précise :
Dans cette définition, on suppose que et sont éléments d’un même espace affine (de dimension finie ou infinie, et qui peut être par ailleurs un espace vectoriel) sur le corps des nombres réels.
Le barycentre ne changeant pas lorsque tous les coefficients sont multipliés par une même constante non nulle, on déduit immédiatement de cette remarque l’énoncé suivant :
Lorsque l’on travaille dans un espace vectoriel, cette remarque fournit une description utile du segment , à savoir :
Si l’espace affine est topologique et séparé (au sens de Hausdorff), alors un segment est compact, comme image du compact par l’application continue .
On pourrait inverser les bornes des segments ; ainsi il est tout à fait licite d’écrire par exemple pour . Cependant, il y a une ambiguïté dans le cas de : si les segments et sont égaux au sens affine, ils ne le sont pas en tant qu’intervalles puisque est l’intervalle vide (car ).
En géométrie euclidienne, le segment est placé dans un espace euclidien — ce peut être notamment un plan ou l’espace à trois dimensions muni de la distance familière entre points.
Soient et points quelconques de . La longueur du segment est égale à la distance .
Le segment est l’ensemble des points où l’inégalité triangulaire devient une égalité, ce qu’on peut écrire :
En géométrie hyperbolique, on peut également disposer du concept intuitif de « segment » entre et représentant la portion de la droite hyperbolique située « entre » ces deux points dans le plan hyperbolique (ou dans un espace hyperbolique de n’importe quelle dimension).
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