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Concept
Intervalle (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir à la notion topologique de boule d'un espace métrique.
Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec a et b réels et a < b) :
(ouvert et non fermé)
(fermé et non ouvert)
(semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite)
(semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite)
Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts ; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.
Une autre notation (d'origine anglaise mais très répandue également) utilise, pour les intervalles (semi-)ouverts, une parenthèse au lieu d'un crochet, et une virgule séparatrice au lieu d'un point-virgule : les intervalles ci-dessus sont alors notés respectivement
Ces deux notations sont décrites dans la norme ISO 31 (pour les mathématiques :
ISO 31-11).
À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :
(ouvert et non fermé)
(fermé et non ouvert)
(ouvert et non fermé)
(fermé et non ouvert)
Auxquels se sont ajoutés les intervalles :
l'ensemble vide ∅ (à la fois ouvert et fermé) ;
les singletons {a} = [a, a] (fermé et non ouvert) ;
l'ensemble des nombres réels (à la fois ouvert et fermé).
Un intervalle de R est une partie convexe de R, c'est-à-dire un ensemble I de réels vérifiant la propriété suivante :
autrement dit :
Une intersection d'intervalles de R est toujours un intervalle. Par exemple,
Une union d'intervalles de R n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de « trou »).
Source officielle
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