Concept

Formule de Riemann-Hurwitz

Résumé

En mathématiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nommée en l'honneur des mathématiciens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, décrit les relations entre les caractéristiques d'Euler de deux surfaces lorsque l'une est un revêtement ramifié de l'autre. Ceci, par conséquent, relie la ramification avec la topologie algébrique dans ce cas. C'est un prototype de résultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqué dans la théorie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes algébriques. Pour une surface orientable S, la caractéristique d'Euler est où g est le genre (le nombre de trous), puisque les nombres de Betti sont 1, 2g, 1, 0, 0, ... Dans le cas d'un revêtement non ramifié de surfaces qui est surjectif et de degré N, nous avons parce que chaque simplexe de S doit être couvert par exactement N dans S′ — au moins si nous utilisons une triangulation suffisamment bonne de S, comme nous avons le droit de le faire puisque la caractéristique d'Euler est un invariant topologique. Ce que fait la formule de Riemann-Hurwitz, est d'ajouter une correction qui tienne compte de la ramification (feuilles se rejoignant). Proche d'un point P de S où e feuilles se rejoignent, étant appelé lindice de ramification, nous notons la perte de copies de P au-dessus de P (dans ). Par conséquent, nous pouvons prévoir une formule « corrigée » la somme étant prise sur tous les P dans S (presque tous les P ont donc la somme est finie). Ceci est la formule de Riemann-Hurwitz, mais pour un cas particulier – bien qu'important : celui où il existe juste un point où les feuilles au-dessus de P se rejoignent, ou de manière équivalente la monodromie locale est une permutation circulaire). Dans le cas le plus général, la somme finale doit être remplacée par la somme de termes où est le nombre de points de S′ au-dessus de P, ou de manière équivalente le nombre de cycles de la monodromie locale agissant sur les feuilles. Par exemple, toute courbe elliptique (genre 1) s'applique vers la droite projective (genre 0) comme un double revêtement (N = 2), avec une ramification à seulement quatre points, où e = 2.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Riemann-Hurwitz

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.