Problème 2-SAT

En informatique théorique, le problème 2-SAT est un problème de décision. C'est une restriction du problème SAT qui peut être résolu en temps polynomial, alors que le problème général est NP complet. Le problème 2-SAT consiste à décider si une formule booléenne en forme normale conjonctive, dont toutes les clauses sont de taille 2, est satisfaisable. De telles formules sont appelées 2-CNF ou formules de Krom. On considère des formules en forme normale conjonctive, c'est-à-dire que ce sont des ET de OU de littéraux (un littéral est une variable ou la négation d'une variable). Par exemple : Pour le problème 2SAT, on se restreint le nombre de littéraux par clause est égal 2. Un exemple d'une telle formule est alors : Une formule en forme normale conjonctive avec 2 littéraux par clause s'appelle aussi une 2-CNF ou formule de Krom. Le problème de décision 2SAT est le suivant : Entrée : Une formule en forme normale conjonctive avec 2 littéraux par clause ; Question : Existe-t-il une assignation des variables, qui rende la formule vraie ? Autrement dit, la formule peut-elle être satisfaite ? Dans les applications il est souvent nécessaire de pouvoir donner une solution explicite, et non pas seulement de décider si elle existe. thumb|upright=1.35|Graphe d'implication de la formule On peut représenter une formule en forme normale conjonctive avec au plus 2 littéraux par clause par un graphe orienté appelé . La figure ci-contre montre un graphe d'implication pour la formule L'idée est de remarquer qu'une clause de taille 2 peut toujours s'écrire comme une implication logique. Par exemple la clause dans la formule ci-dessus peut s'écrire , ou encore . On peut alors construire un graphe dont les sommets sont les littéraux, et dont les arêtes représentent les implications. C'est pourquoi il y a un arc du sommet au sommet et un arc du sommet au sommet . C'est un et on peut montrer qu'une formule est satisfaisable si et seulement si dans son graphe d'adjacence aucun sommet n'est dans la même composante fortement connexe que son nœud complémentaire .