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Formule sommatoire de Poisson

Résumé

La formule sommatoire de Poisson (parfois appelée resommation de Poisson) est une identité entre deux sommes infinies, la première construite avec une fonction f, la seconde avec sa transformée de Fourier \hat f. Ici, f est une fonction sur la droite réelle ou plus généralement sur un espace euclidien. La formule a été découverte par Siméon Denis Poisson. Elle, et ses généralisations, sont importantes dans plusieurs domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l'analyse harmonique, et la géométrie riemannienne. L'une des façons d'interpréter la formule unidimensionnelle est d'y voir une relation entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le cercle et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette courbe. La formule des traces de Selberg, à l'interface de tous les domaines cités plus haut et aussi de l'analyse fonctionnelle, établit une relation du même type, mais au caractère beaucoup plus profond, entre spectre du Laplacien

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_sommatoire_de_Poisson

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In this course we will introduce core concepts of the theory of modular forms and consider several applications of this theory to combinatorics, harmonic analysis, and geometric optimization.

Learn the basis of Lebesgue integration and Fourier analysis

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Shift-Invariant and Sampling Spaces Associated With the Fractional Fourier Transform Domain

Ayush Bhandari

Shift-invariant spaces play an important role in sampling theory, multiresolution analysis, and many other areas of signal and image processing. A special class of the shift-invariant spaces is the class of sampling spaces in which functions are determined by their values on a discrete set of points. One of the vital tools used in the study of sampling spaces is the Zak transform. The Zak transform is also related to the Poisson summation formula and a common thread between all these notions is the Fourier transform.

2012

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The Poisson summation formula (PSF), which relates the sampling of an analog signal with the periodization of its Fourier transform, plays a key role in the classical sampling theory. In its current forms, the formula is only applicable to a limited class of signals in

L _{ 1 }

. However, this assumption on the signals is too strict for many applications in signal processing that require sampling of non-decaying signals. In this paper we generalize the PSF for functions living in weighted Sobolev spaces that do not impose any decay on the functions. The only requirement is that the signal to be sampled and its weak derivatives up to order 1∕2 + ε for arbitrarily small ε > 0, grow slower than a polynomial in the

L _{ 2 }

sense. The generalized PSF will be interpreted in the language of distributions.

IEEE2015

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Generalized Poisson Summation Formulas for Continuous Functions of Polynomial Growth

Quy Ha Nguyen, Michaël Unser, John Paul Ward

The Poisson summation formula (PSF) describes the equivalence between the sampling of an analog signal and the periodization of its frequency spectrum. In engineering textbooks, the PSF is usually stated formally without explicit conditions on the signal for the formula to hold. By contrast, in the mathematics literature, the PSF is commonly stated and proven in the pointwise sense for various types of

L _{ 1 }

signals. This

L _{ 1 }

assumption is, however, too restrictive for many signal-processing tasks that demand the sampling of possibly growing signals. In this paper, we present two generalized versions of the PSF for d-dimensional signals of polynomial growth. In the first generalization, we show that the PSF holds in the space of tempered distributions for every continuous and polynomially growing signal. In the second generalization, the PSF holds in a particular negative-order Sobolev space if we further require that d∕2 + ε derivatives of the signal are bounded by some polynomial in the

L _{ 2 }

sense.

2017

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Generalized Poisson Summation Formulas for Continuous Functions of Polynomial Growth

Quy Ha Nguyen, Michaël Unser, John Paul Ward

L _{ 1 }

signals. This

L _{ 1 }

L _{ 2 }

sense.

2017

L _{ 1 }

L _{ 2 }

sense. The generalized PSF will be interpreted in the language of distributions.

IEEE2015