Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Cercles d'Apollonius
Résumé
En géométrie, le nom de cercles d'Apollonius a été donné à plusieurs configurations différentes.
Apollonius de Perge propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.
vignette|300x300px
Démonstration du fait que ce lieu géométrique est bien un cercle, et construction de ce cercle :
Solution sur (AB) : si k = 1, MA=k MB a une unique solution sur (AB) : le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].
Solution hors de (AB) : Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; (MC) est alors la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Mais on a aussi MA/MB = DA/DB et (MD) est la seconde bissectrice de l'angle en M dans AMB. En particulier le triangle CMD est rectangle en M et M est donc sur le cercle de diamètre [CD].
Synthèse : Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forment un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices intérieures et extérieures en M du triangle AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport.
Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k.
On peut aussi remarquer que ce lieu est obtenu par l'annulation de la fonction scalaire de Leibniz ; si est le barycentre de et , le lieu est le cercle de centre et de rayon .
Pour k variant, ces cercles forment un faisceau de cercles à points limites A et B.
center
Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.
Les bissectrices en A coupent [BC] en I1 et J1, le cercle c1 de centre O1 a pour diamètre [I1J1].
Les bissectrices en B coupent [AC] en I2 et J2, le cercle c2 de centre O2 a pour diamètre [I2J2].
Les bissectrices en C coupent [AB] en I3 et J3, le cercle c3 de centre O3 a pour diamètre [I3J3].
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.