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Concept
Cercles d'Apollonius
Résumé
En géométrie, le nom de cercles d'Apollonius a été donné à plusieurs configurations différentes.
Apollonius de Perge propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.
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Démonstration du fait que ce lieu géométrique est bien un cercle, et construction de ce cercle :
Solution sur (AB) : si k = 1, MA=k MB a une unique solution sur (AB) : le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].
Solution hors de (AB) : Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; (MC) est alors la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Mais on a aussi MA/MB = DA/DB et (MD) est la seconde bissectrice de l'angle en M dans AMB. En particulier le triangle CMD est rectangle en M et M est donc sur le cercle de diamètre [CD].
Synthèse : Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forment un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices intérieures et extérieures en M du triangle AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport.
Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k.
On peut aussi remarquer que ce lieu est obtenu par l'annulation de la fonction scalaire de Leibniz ; si est le barycentre de et , le lieu est le cercle de centre et de rayon .
Pour k variant, ces cercles forment un faisceau de cercles à points limites A et B.
center
Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.
Les bissectrices en A coupent [BC] en I1 et J1, le cercle c1 de centre O1 a pour diamètre [I1J1].
Les bissectrices en B coupent [AC] en I2 et J2, le cercle c2 de centre O2 a pour diamètre [I2J2].
Les bissectrices en C coupent [AB] en I3 et J3, le cercle c3 de centre O3 a pour diamètre [I3J3].
Source officielle
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