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Concept
Mouvement à la Poinsot
Résumé
En mécanique du solide, on appelle mouvement à la Poinsot, le mouvement d'un solide autour de son centre de gravité G, le moment des forces extérieures par rapport à G étant nul. Ce mouvement est caractérisé par la conservation du moment cinétique et de l'énergie cinétique de rotation , demi-produit scalaire du moment cinétique et du vecteur de rotation instantanée. Il existe 3 cas :
le solide est à symétrie sphérique. Ses moments principaux d'inertie sont égaux : A = B = C. Alors le mouvement se réduit à une simple rotation uniforme d'axe le moment cinétique.
le solide est à symétrie de révolution : A = B et C est différent. On parle de mouvement d'Euler-Poinsot de la toupie. Ce mouvement est équivalent à celui d'un cône roulant sans glissement sur un autre cône fixe. Le mouvement de la Terre en est un exemple.
le solide est quelconque : C > B > A. Le mouvement est intégrable grâce aux fonctions elliptiques de Jacobi. Il se répète régulièrement après une certaine variation de la précession.
Pour un tel solide, tous les moments principaux d'inertie sont égaux. Notons I leur valeur commune. Si est le vecteur de rotation instantanée et le moment cinétique du solide, on a . étant constant, il en est de même de . Le mouvement est un simple mouvement de rotation uniforme d'axe le moment cinétique, à la vitesse angulaire . Son énergie cinétique de rotation est .
Ce cas concerne la sphère, la boule, mais aussi le cube.
Soit un solide de révolution, d'axes principaux d'inertie , , , de moments d'inertie respectifs (A, A, C). Le référentiel (G, , , ) sera dit référentiel lié au solide. Le référentiel d'origine G et dont les axes sont parallèles à un référentiel galiléen sera dit référentiel fixe. On rappelle que le moment cinétique est constant. On peut le supposer colinéaire au vecteur du référentiel fixe. On dispose des résultats suivants :
Théorème d'Euler :
Les vecteurs , et sont coplanaires.
l'angle de nutation entre et est constant.
Le vecteur de rotation instantanée a un module constant.
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