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Concept
Argument de la diagonale de Cantor
Résumé
vignette|Illustration de la diagonale de Cantor
En mathématiques, l'argument de la diagonale, ou argument diagonal, fut inventé par le mathématicien allemand Georg Cantor et publié en 1891. Il permit à ce dernier de donner une deuxième démonstration de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels, beaucoup plus simple, selon Cantor lui-même, que la première qu'il avait publiée en 1874, et qui utilisait des arguments d'analyse, en particulier le théorème des segments emboîtés. L'argument diagonal fut exploité dans un cadre plus général par Cantor dans le même article pour son théorème sur la cardinalité de l'ensemble des parties d'un ensemble.
L'argument diagonal s'applique à une relation ou une fonction (éventuellement partielle) à deux arguments sur un même domaine E, ou, ce qui revient au même, à une fonction qui à chaque élément de E associe une fonction définie sur E. Il utilise de façon essentielle la diagonale de E × E : l'ensemble des couples (x, x) pour x dans E, d'où l'appellation.
Il a été adapté pour de nombreuses démonstrations. Des paradoxes qui ont joué un rôle dans la fondation de la théorie des ensembles comme le paradoxe de Russell (inspiré du théorème de Cantor) mais aussi le paradoxe de Richard s'appuient sur le raisonnement diagonal. Le théorème d'incomplétude de Gödel l'utilise pour un lemme essentiel. La théorie de la calculabilité en fait grand usage, à commencer par la démonstration de l'indécidabilité du problème de l'arrêt. L'argument diagonal est ainsi devenu un classique de la démonstration en mathématiques.
On peut s'appuyer sur le développement décimal des réels. À partir d'une énumération des réels (ce qui revient à les numéroter), on construit un nouveau réel dont la n-ième décimale est différente de la n-ième décimale du n-ième réel de l'énumération. Ce nouveau réel ne peut donc préexister dans cette énumération. Les décimales peuvent être présentées sous forme d'un tableau semi-infini à deux entrées dont la n-ième ligne comprend la liste des décimales du n-ième réel.
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