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Concept
Octonion
Résumé
En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps R des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée O.
En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, ils gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie.
Les octonions ont été découverts en 1843 par , un ami de William Hamilton, qui les appela octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.
L'espace O des octonions est un espace vectoriel réel de dimension 8 rapporté à une base notée (1, i, j, k, l, il, jl, kl) (en anticipant légèrement la définition de la multiplication).
Autrement dit : chaque octonion x s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire à coefficients réels x de ces huit éléments :
et les deux opérations d'espace vectoriel (addition de deux octonions et multiplication à gauche d'un octonion par un réel) se font coordonnée par coordonnée.
La multiplication des octonions est alors définie comme l'unique application bilinéaire, c'est-à-dire vérifiant
et dont les valeurs sur les vecteurs de base sont données par la table de multiplication ci-dessous :
On remarque immédiatement que :
(cases blanches) 1 est neutre (premières ligne et colonne de la table) et les 7 autres éléments de la base ont pour carré –1 (diagonale) ;
(cases vertes) deux éléments distincts a et b, parmi les 7 éléments de la base différents de 1, anticommutent (ab = –ba) (hormis dans les lignes et colonnes 1 et sur la diagonale où le produit est commutatif, la table est antisymétrique en signe par rapport à la diagonale).
Le quart supérieur gauche de la table est identique à la table de la multiplication des quaternions. En particulier : ij = k, jk = i, ki = j.
Source officielle
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