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Concept
Algèbre alternative
Résumé
En algèbre, une algèbre alternative est une algèbre dans laquelle la multiplication n'est pas nécessairement associative mais satisfait à deux identités exprimant l'alternativité, à savoir
pour x et y quelconques dans l'algèbre.
Toute algèbre associative est évidemment alternative mais certaines algèbres strictement non associatives telles que les octonions le sont aussi.
Les algèbres alternatives sont ainsi nommées car ce sont les algèbres pour lesquelles l'associateur est alterné. L'associateur est l'application trilinéaire définie pour x, y et z quelconques par
Par définition, une application multilinéaire est alternée si elle s'annule dès que deux de ses arguments sont égaux. Les identités alternatives à gauche et à droite pour une algèbre sont respectivement équivalentes à
Ces deux identités impliquent ensemble que
pour tous x et y. Cette condition est équivalente à l'identité flexible
L'associateur d'une algèbre alternative est donc alterné. Réciproquement, toute algèbre dont l'associateur est alterné est clairement alternative. Par symétrie, toute algèbre qui satisfait à deux des trois conditions suivantes :
identité alternative à gauche :
identité alternative à droite :
identité flexible :
satisfait également à la troisième ; elle est donc alternative.
Un associateur alterné est toujours totalement antisymétrique, c'est-à-dire que
pour toute permutation de {1, 2, 3}. La réciproque est vraie si la caractéristique du corps de base n'est pas 2.
Toute algèbre associative est alternative.
Les octonions forment une algèbre alternative non associative, une algèbre à division normée de dimension 8 sur les nombres réels.
Plus généralement, toute algèbre d'octonions est alternative.
Les sédénions et toutes les algèbres de Cayley-Dickson supérieures perdent la propriété d'alternativité.
Le théorème d'Artin stipule que dans une algèbre alternative, la sous-algèbre engendrée par deux éléments quelconques est associative. Réciproquement, toute algèbre pour laquelle cette condition est vérifiée est manifestement alternative.
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