En algèbre, l'associativité des puissances est une forme affaiblie de l'associativité.
Un magma est dit associatif des puissances si le sous-magma engendré par n'importe quel élément est associatif. Concrètement, cela signifie que si une opération est effectuée plusieurs fois sur un même élément , l'ordre dans lequel sont effectuées ces opérations n'a pas d'importance ; ainsi, par exemple, .
Tout magma associatif est évidemment associatif des puissances.
Si un magma est associatif des puissances alors pour tout élément de , mais la réciproque est fausse (contre-exemple : avec définie par ).
mais une algèbre alternative l'est, comme celle des octonions. Certaines algèbres non alternatives le sont également, comme celle des sédénions.
L'exponentiation à une puissance d'entier naturel différent de zéro peut être définie de manière cohérente si la multiplication est associative des puissances. Par exemple, il n'y a pas d'ambiguïté que x3 soit défini comme (xx)x ou x(xx), car les deux sont égaux. L'exponentiation à une puissance de zéro peut également être définie si l'opération possède un élément neutre : l'existence de tels éléments est ainsi particulièrement utile dans les contextes où l'associativité des puissances est vérifiée.
Une loi de substitution remarquable est valable dans les algèbres (sur un anneau commutatif) associatives des puissances, avec élément neutre. Elle affirme que la multiplication des polynômes fonctionne comme attendu. Soient f et g deux polynômes à coefficients dans l'anneau. Pour tout élément a d'une telle algèbre, nous avons (fg)(a) = f(a)g(a).
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En algèbre, l'associativité des puissances est une forme affaiblie de l'associativité. Un magma est dit associatif des puissances si le sous-magma engendré par n'importe quel élément est associatif. Concrètement, cela signifie que si une opération est effectuée plusieurs fois sur un même élément , l'ordre dans lequel sont effectuées ces opérations n'a pas d'importance ; ainsi, par exemple, . Tout magma associatif est évidemment associatif des puissances.
En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps R des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée O. En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, ils gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie. Les octonions ont été découverts en 1843 par , un ami de William Hamilton, qui les appela octaves.
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que : (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ; la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ; la loi × est bilinéaire.
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Study the basics of representation theory of groups and associative algebras.
Le cours se concentre sur l'examen interdisciplinaire de phénomènes associatifs et émotionnels et de leurs principes structurants; ordonné autour d'un thème déterminant pour la théorie et la pratique
The goal of the course is to introduce relativistic quantum field theory as the conceptual and mathematical framework describing fundamental interactions.