Lemme de Zorn

En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix en admettant les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Le lemme de Zorn permet d'utiliser l'axiome du choix sans recourir à la théorie des ordinaux (ou à celle des bons ordres via le théorème de Zermelo). En effet, sous les hypothèses du lemme de Zorn, on peut obtenir un élément maximal par une définition par récurrence transfinie, la fonction itérée étant obtenue par axiome du choix. Cependant, les constructions par récurrence transfinie sont parfois plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives. Le lemme de Zorn a des applications aussi bien en topologie, comme le théorème de Tychonov, qu'en analyse fonctionnelle, comme le théorème de Hahn-Banach, ou en algèbre, comme le théorème de Krull ou l'existence d'une clôture algébrique. Il doit son nom au mathématicien Max Zorn qui, dans un article de 1935, en donnait le premier un grand nombre d'applications, en redémontrant des résultats connus d'algèbre. Cependant Kazimierz Kuratowski en avait déjà publié une version en 1922, et plusieurs mathématiciens, à commencer par Felix Hausdorff en 1907, avaient introduit des principes de maximalité proches du lemme de Zorn. Un ensemble ordonné tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant est souvent appelé ensemble inductif (un ensemble inductif est donc nécessairement non vide, par existence d'un majorant de la chaîne vide). En utilisant cette terminologie, le lemme de Zorn s’énonce ainsi : L'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'inclusion est un exemple d'ensemble inductif : E est un majorant de toute chaîne (pour l'inclusion) de parties de E, qui ne présente cependant pas d'intérêt pour le lemme de Zorn, puisque E est également un élément maximal.