Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes : une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ; une application linéaire idempotente : elle vérifie p = p. Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale. Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application : Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (p ∘ p = p), d' im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable. On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p = p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement : La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p. L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : ker(p) = im(id – p) et im(p) = ker(id – p). Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p. Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p. Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, r = r et imp ⊂ imr. Un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels si et seulement s'il existe une famille de projecteurs (pour ) vérifiant : et si i ≠ j. Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).