Nombre de Heegner

En théorie des nombres, un nombre de Heegner est un entier positif n sans facteur carré tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire Q[i] est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind). Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner :1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163 (). Ce résultat était conjecturé par Gauss et démontré, à quelques erreurs près, par Kurt Heegner en 1952. Alan Baker et Harold Stark ont indépendamment démontré la conjecture en 1966, et Stark a comblé la preuve de Heegner. La détermination de ces nombres est un cas particulier du problème du nombre de classes, et ils sous-tendent plusieurs résultats arithmétiques frappants. Par exemple, pour certains nombres de Heegner d, le nombre est presque entier. Le polynôme d'Euler qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., 39, est lié au nombre de Heegner 163 = 4×41 − 1. a montré quedonne des nombres premiers pour si et seulement si son discriminant est l'opposé d'un nombre de Heegner. (Remarquons que , de sorte que est maximal.) Les nombres de Heegner 1, 2, et 3 n'étant pas de la forme 4p − 1 avec p ≥ 2, les nombres de Heegner qui fonctionnent sont donc 7, 11, 19, 43, 67, 163, ce qui correspond aux coefficients p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 ; ces derniers ont été nommés nombres chanceux d'Euler par François Le Lionnais. La constante de Ramanujan est le nombre e, qui est à la fois transcendant (comme e pour tout nombre algébrique non nul γ, d'après le théorème de Gelfond-Schneider) et presque entier :Ce nombre a été découvert en 1859 par le mathématicien Charles Hermite. Cette coïncidence est due à la multiplication complexe et au q-développement du j-invariant. Cela s'explique, en bref, par le fait que est entier lorsque d est de Heegner, etpar q-développement. Si est un irrationnel quadratique, alors le j-invariant est un entier algébrique de degré égal au nombre de classes de . Ainsi, si l'extension quadratique imaginaire a un nombre de classes égal à 1 (donc si d est un nombre de Heegner), alors le j-invariant est entier.