Nombre premier

vignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur. Par exemple, le nombre entier 7 est premier car 1 et 7 sont les seuls diviseurs entiers et positifs de 7. Tout nombre pair étant multiple de 2, les nombres premiers sont par conséquent tous impairs, excepté le nombre 2 lui-même. De plus, tout nombre se terminant par 5 étant un multiple de ce dernier, les nombres premiers (hormis 2 et 5) se terminent tous par 1, 3, 7 ou 9. Par opposition, on appelle nombre composé tout nombre entier qui est le produit de deux entiers strictement supérieurs à 1 et possède de ce fait au moins trois diviseurs ; sont composés, par exemple, 4 = 2 × 2 qui en possède 3 (à savoir 1, 2 et 4), 9 = 3 × 3 qui en possède 3 (à savoir 1, 3 et 9) et 12 = 2 × 2 × 3 qui en possède 6 (à savoir 1, 2, 3, 4, 6 et 12). Selon cette définition, les nombres 0 et 1 ne sont donc ni premiers ni composés : 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif et 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs. Autrefois certains mathématiciens, grâce à une définition légèrement différente des nombres premiers, considéraient que 1 en était un. Mais au début du , un consensus a abouti à la définition donnée ici, qui exclut 1 des nombres premiers. Les vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 sont : De telles listes de nombres premiers inférieurs à une borne donnée, ou compris entre deux bornes, peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul. Mais il ne peut pas y avoir de liste exhaustive finie des nombres premiers, car on sait (depuis l'Antiquité : voir Théorème d'Euclide sur les nombres premiers) qu'il en existe une infinité.