Groupe des classes d'idéaux

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, la théorie des corps de nombres – les extensions finies du corps Q des rationnels – fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chacun de ces corps : son groupe des classes d'idéaux. Les premiers groupes de classes rencontrés en algèbre furent des groupes de classes de formes quadratiques : dans le cas des formes quadratiques binaires, dont l'étude a été faite par Gauss, une loi de composition est définie sur certaines classes d'équivalence de formes. On obtient ainsi un groupe abélien fini. Plus tard au , Kummer travailla à une théorie des corps cyclotomiques. Il comprit alors qu'il y avait une bonne raison pour que les tentatives de donner une démonstration complète du cas général du dernier théorème de Fermat par de simples méthodes de factorisation utilisant les racines de l'unité échouent : l'absence, en général, d'une décomposition en facteurs premiers dans l'anneau engendré par une racine de l'unité, était un obstacle majeur. La première étude de cette obstruction à la factorialité se trouve dans le travail de Kummer. L'obstruction obtenue par Kummer est, en langage contemporain, une partie du groupe des classes d'idéaux : en fait, Kummer a isolé la p-torsion dans ce groupe, pour le corps, dit cyclotomique, engendré par une racine primitive p-ième de l'unité, pour tout nombre premier p, et l'a identifiée comme la raison de l'échec des tentatives classiques de résolution du problème de Fermat (voir nombre premier régulier). Dedekind formula ensuite le nouveau concept d'idéal. Ce langage donnait un cadre pour l'unification des divers exemples étudiés notamment par Kummer. Il fut montré que l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres, qui n'est pas toujours factoriel (et a fortiori pas principal), possède cependant la propriété que dans cet anneau (intègre), tout idéal non nul est produit d'idéaux premiers (c'est-à-dire que c'est un anneau de Dedekind). Cette propriété est analysée dans l'article « Idéal fractionnaire ».

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En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.

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