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Concept
J-invariant
Résumé
Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.
Motivation : birapport et j-invariant
On travaille dans le \mathbb CP^1. Soient quatre points distincts a, b, c, d, leur birapport est :
:(a,b,c,d)= \frac{a-c}{a-d} \cdot \frac{b-d}{b-c}
Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Par exemple, le birapport de (m, 1, 0, \infty) peut valoir, selon l'ordre considéré :
:m, 1/m, 1-m, 1-1/m, 1/(1 - m), m / (m- 1)
Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité
qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :
:
Source officielle
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