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Concept
Schéma d'axiomes de compréhension
Résumé
Le schéma d'axiomes de compréhension, ou schéma d'axiomes de séparation, est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en abrégé schéma de compréhension ou schéma de séparation. La théorie des classes permet de l'exprimer comme un seul axiome.
Étant donné un ensemble A et une propriété P exprimée dans le langage de la théorie des ensembles, il affirme l'existence de l'ensemble B des éléments de A vérifiant la propriété P. L'unicité (nécessaire pour que la phrase qui précède soit correcte) se déduit par extensionnalité, et il n'est donc pas nécessaire de la donner dans l'axiome. La propriété P peut contenir des paramètres. Ce schéma permet de justifier l'introduction de l'expression (extension conservative) :
B = {x ∈ A | P x}
qui correspond bien à ce que l'on appelle la définition d'un ensemble en compréhension.
On parle aussi de schéma de séparation, car il permet de séparer dans A les éléments qui vérifient la propriété P pour définir un nouvel ensemble.
On peut énoncer formellement le schéma de compréhension ainsi :
∀a1 ... ∀ap ∀ A ∃ B ∀ x[x ∈ B ⇔ (x ∈ A et P x a1 ... ap)]
pour toute formule P ne contenant pas d'autre variable libre que x a1 ... ap (en particulier B ne peut apparaître dans P).
Les a1 ... ap sont des paramètres de la propriété P. On peut les omettre dans un premier temps pour comprendre l'énoncé. Le passage en majuscule pour les lettres A et B n'a aucune signification propre, en théorie des ensembles tous les objets sont des ensembles. Il n'est là que pour la lisibilité (du moins l'espère-t-on). Il s'agit bien d'un schéma d'axiomes (un énoncé pour chaque formule).
Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), le schéma d'axiomes de compréhension est conséquence du schéma d'axiomes de remplacement. Cependant, comme il est plus simple à comprendre et à utiliser que ce dernier, et qu'il suffit pour les développements les plus élémentaires de la théorie, il est souvent introduit directement.
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