La théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann.
Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article.
Les axiomes de Zermelo sont exprimés pour un (en allemand : Bereich ) qui est une collection de « choses » appelées objets ; certains de ces objets, mais pas nécessairement tous, sont appelés ensembles (les versions ultérieures de la théorie des ensembles partent le plus souvent du principe que tous les objets sont des ensembles). Zermelo introduit une relation d'appartenance, qu'il note par la lettre epsilon : ; cette relation se lit : a est élément de b, ou b contient a comme élément ; Zermelo écrit pour signifier que désignent le même objet du domaine. À une seule exception près (l'ensemble vide de ci-dessous), un objet b du est appelé ensemble quand et seulement quand il contient au moins un objet a comme élément, c'est-à-dire quand il existe un objet a du domaine tel que . Un ensemble M est appelé sous-ensemble d'un ensemble N quand tous les éléments de M sont aussi éléments
Voici la liste des sept axiomes que le doit satisfaire. On a respecté dans la mesure du possible les notations de l'article de Zermelo en 1908.
Axiome I. Axiome d'extensionnalité (Axiom der Bestimmtheit)
Axiome II. Axiome des ensembles élémentaires (Axiom der Elementarmengen) (Voir Axiome de la paire).
Axiome III. Axiome de séparation (ou axiome de compréhension, Axiom der Aussonderung)
Axiome IV. Axiome de l'ensemble des parties (Axiom der Potenzmenge)
Axiome V. Axiome de la réunion (Axiom der Vereinigung)
Axiome VI. Axiome du choix (Axiom der Auswahl)
Axiome VII.
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En théorie des ensembles, l’axiome de la réunion (ou «axiome de la somme») est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, ZF. Il affirme que, pour tout ensemble A, il existe un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles éléments de l'ensemble A, et seulement ceux-ci (le contexte est celui d'une théorie où tous les objets sont des ensembles, en particulier A est un ensemble d'ensembles, sinon il faut le préciser).
L'axiome de l'ensemble vide est, en mathématiques, l'un des axiomes possibles de la théorie des ensembles. Comme son nom l'indique, il permet de poser l'existence d'un ensemble vide. Dans les présentations modernes, il n'est plus mentionné parmi les axiomes des théories des ensembles de Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, car il est conséquence en logique du premier ordre du schéma d'axiomes de compréhension.
En théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.