Théorie des ensembles de Zermelo

La théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann. Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article. Les axiomes de Zermelo sont exprimés pour un (en allemand : Bereich ) qui est une collection de « choses » appelées objets ; certains de ces objets, mais pas nécessairement tous, sont appelés ensembles (les versions ultérieures de la théorie des ensembles partent le plus souvent du principe que tous les objets sont des ensembles). Zermelo introduit une relation d'appartenance, qu'il note par la lettre epsilon : ; cette relation se lit : a est élément de b, ou b contient a comme élément ; Zermelo écrit pour signifier que désignent le même objet du domaine. À une seule exception près (l'ensemble vide de ci-dessous), un objet b du est appelé ensemble quand et seulement quand il contient au moins un objet a comme élément, c'est-à-dire quand il existe un objet a du domaine tel que . Un ensemble M est appelé sous-ensemble d'un ensemble N quand tous les éléments de M sont aussi éléments Voici la liste des sept axiomes que le doit satisfaire. On a respecté dans la mesure du possible les notations de l'article de Zermelo en 1908. Axiome I. Axiome d'extensionnalité (Axiom der Bestimmtheit) Axiome II. Axiome des ensembles élémentaires (Axiom der Elementarmengen) (Voir Axiome de la paire). Axiome III. Axiome de séparation (ou axiome de compréhension, Axiom der Aussonderung) Axiome IV. Axiome de l'ensemble des parties (Axiom der Potenzmenge) Axiome V. Axiome de la réunion (Axiom der Vereinigung) Axiome VI. Axiome du choix (Axiom der Auswahl) Axiome VII.

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