Loi inverse-gaussienne

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne (ou loi gaussienne inverse ou encore loi de Wald) est une loi de probabilité continue à deux paramètres et à valeurs strictement positives. Elle est nommée d'après le statisticien Abraham Wald. Le terme « inverse » ne doit pas être mal interprété, la loi est inverse dans le sens suivant : la valeur du mouvement brownien à un temps fixé est de loi normale, à l'inverse, le temps en lequel le mouvement brownien avec une dérive positive (drifté) atteint une valeur fixée est de loi inverse-gaussienne. Sa densité de probabilité est donnée par où μ > 0 est son espérance et λ > 0 est un paramètre de forme. Lorsque λ tend vers l'infini, la loi inverse-gaussienne se comporte comme une loi normale, elle possède plusieurs propriétés similaires avec cette dernière. La fonction génératrice des cumulants (logarithme de la fonction caractéristique) de la loi inverse-gaussienne est l'inverse de celle de la loi normale. Pour indiquer qu'une variable aléatoire X est de loi inverse-gaussienne de paramètres et , on utilise la notation Si les variables aléatoires , ont pour loi respectivement, et sont indépendantes, alors leur somme est de loi inverse-gaussienne : Il est à remarquer que est constant pour tout i. C'est une condition nécessaire pour cette formule de sommation. Si X est de loi inverse-gaussienne, alors pour tout t > 0, tX est de loi inverse-gaussienne dont les paramètres sont multipliés par t : La loi inverse-gaussienne est une famille exponentielle à deux paramètres avec pour paramètres naturels et , et pour statistiques naturelles X et 1/X. Le processus stochastique défini par où est le mouvement brownien standard et ν > 0, est un mouvement brownien drifté par ν. Ainsi, le temps d'atteinte (ou premier temps de passage) de la valeur (ou niveau) α > 0 fixé par X est aléatoire et de loi inverse-gaussienne : Un cas particulier usuel de l'explication précédente est le cas où le mouvement brownien n'a pas de drift.