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Concept

Codimension

Résumé

La codimension est une notion de géométrie, rencontrée en algèbre linéaire, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique. C'est une mesure de la différence de tailles entre un espace et un sous-espace. La codimension dans un espace vectoriel E d'un sous-espace vectoriel F est la dimension de l'espace vectoriel quotient E/F : Cette codimension est aussi égale à la dimension de n'importe quel supplémentaire de F dans E car tous sont isomorphes à E/F. Il résulte de la définition que F = E si et seulement si codim(F) = 0. D'après la formule de Grassmann, si E = F⊕G, alors dim(E) = dim(F) + dim(G). En particulier : Théorème du rang Le rang d'une application linéaire u de E dans F est la dimension de son im(u). Or d'après le théorème de factorisation, cette image est isomorphe à l'espace quotient E/ker(u) (par l'application qui à un élément [x] = x + ker(u) du quotient associe l'élément u(x) de im(u)), donc aussi à n'importe quel supplémentaire de ker(u) dans E. Ainsi : Le rang de u est fini notamment lorsque E ou F est de dimension finie. Si E est dimension finie, l'égalité ci-dessus peut aussi se déduire du théorème du rang, qui assure que dans ce cas particulier, Une variété de dimension n est un espace topologique M localement homéomorphe à un ouvert de Rn. La définition d'une sous-variété généralise celle de sous-espace vectoriel. La codimension d'une sous-variété N de M est définie comme N étant elle-même une variété. En géométrie différentielle, la codimension peut aussi être associée aux plongements, aux immersions, aux feuilletages, etc. Si M est connexe, alors N = M si et seulement si codim(N) = 0. Dimension de Krull En géométrie algébrique, comme une variété algébrique (ou un schéma) peut être la réunion de deux parties fermées strictes de dimensions différentes, la notion de codimension est un peu plus délicate. Une variété non vide qui n'est pas réunion de deux fermés strictement plus petits est dite irréductible.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Codimension

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We consider the singular set in the thin obstacle problem with weight vertical bar x(n +1)vertical bar(a) for a epsilon (-1, 1), which arises as the local extension of the obstacle problem for the fractional Laplacian (a nonlocal problem). We develop a refined expansion of the solution around its singular points by building on the ideas introduced by Figalli and Serra to study the fine properties of the singular set in the classical obstacle problem. As a result, under a superharmonicity condition on the obstacle, we prove that each stratum of the singular set is locally contained in a single C-2 manifold, up to a lower-dimensional subset, and the top stratum is locally contained in a C-1,C-alpha manifold for some alpha > 0 if a < 0. In studying the top stratum, we discover a dichotomy, until now unseen, in this problem (or, equivalently, the fractional obstacle problem). We find that second blow-ups at singular points in the top stratum are global, homogeneous solutions to a codimension-2 lower-dimensional obstacle problem (or fractional thin obstacle problem) when a < 0, whereas second blow-ups at singular points in the top stratum are global, homogeneous, and a-harmonic polynomials when a >= 0. To do so, we establish regularity results for this codimension-2 problem, which we call the very thin obstacle problem. Our methods extend to the majority of the singular set even when no sign assumption on the Laplacian of the obstacle is made. In this general case, we are able to prove that the singular set can be covered by countably many C-2 manifolds, up to a lower-dimensional subset.

MATHEMATICAL SCIENCE PUBL2021

In part I, we address the issue of existence of solutions for Cauchy problems involving nonlinear hyperbolic equations for initial data in Sobolev spaces with scaling subcritical regularity. In particular, we analyse nonlinear estimates for null-forms in the context of wave Sobolev spaces

H^{s,b}

, first in a flat background, then we generalize to more general curved backgrounds. We provide the foundations to show that the Yang-Mills equation in

\mathbb{R}^{1+3}

are globally well-posedness for small weighted

H^{3/4+}\times H^{-1/4+}

initial data, matching the minimal regularity obtained by Tao \cite{tao03}. Our method, inspired from \cite{dasgupta15}, combines the classical Penrose compactification of Minkowski space-time with a null-form estimates for second order hyperbolic operators with variable coefficients. The proof of the null-form appearing in the Yang-Mills equation will be provided in a subsequent work. As a consequence of our argument, we shall obtain sharp pointwise decay bounds. In part II, we show that the finite time type II blow-up solutions for the energy critical nonlinear wave equation

\Box u = -u^5

\R^{3+1}

constructed in \cite{krieger2009slow}, \cite{krieger2009renormalization} are stable along a co-dimension one Lipschitz manifold of data perturbations in a suitable topology, provided the scaling parameter

\lambda(t) = t^{-1-\nu}

is sufficiently close to the self-similar rate, i. e.

\nu>0

is sufficiently small. This result is qualitatively optimal in light of the result of \cite{krieger2015center}, it builds on the analysis of \cite{krieger2017stability} and it is joint work with my thesis advisor Prof. J. Krieger.

EPFL2020

We show that the finite time type II blow up solutions for the energy critical nonlinear wave equation [ \Box u = -u^5 ] on

\R^{3+1}

constructed in \cite{KST}, \cite{KS1} are stable along a co-dimension one Lipschitz manifold of data perturbations in a suitable topology, provided the scaling parameter

\lambda(t) = t^{-1-\nu}

is sufficiently close to the self-similar rate, i. e.

\nu>0

is sufficiently small. This result is qualitatively optimal in light of the result of \cite{CNLW4}. The paper builds on the analysis of \cite{CondBlow}.

2018

H^{s,b}

, first in a flat background, then we generalize to more general curved backgrounds. We provide the foundations to show that the Yang-Mills equation in

\mathbb{R}^{1+3}

are globally well-posedness for small weighted

H^{3/4+}\times H^{-1/4+}

\Box u = -u^5

\R^{3+1}

\lambda(t) = t^{-1-\nu}

is sufficiently close to the self-similar rate, i. e.

\nu>0

EPFL2020

We show that the finite time type II blow up solutions for the energy critical nonlinear wave equation [ \Box u = -u^5 ] on

\R^{3+1}

constructed in \cite{KST}, \cite{KS1} are stable along a co-dimension one Lipschitz manifold of data perturbations in a suitable topology, provided the scaling parameter

\lambda(t) = t^{-1-\nu}

is sufficiently close to the self-similar rate, i. e.

\nu>0

is sufficiently small. This result is qualitatively optimal in light of the result of \cite{CNLW4}. The paper builds on the analysis of \cite{CondBlow}.

2018