Axiome de la réunion

In axiomatic set theory, the axiom of union is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. This axiom was introduced by Ernst Zermelo. The axiom states that for each set x there is a set y whose elements are precisely the elements of the elements of x. In the formal language of the Zermelo–Fraenkel axioms, the axiom reads: or in words: Given any set A, there is a set B such that, for any element c, c is a member of B if and only if there is a set D such that c is a member of D and D is a member of A. or, more simply: For any set , there is a set which consists of just the elements of the elements of that set . The axiom of union allows one to unpack a set of sets and thus create a flatter set. Together with the axiom of pairing, this implies that for any two sets, there is a set (called their union) that contains exactly the elements of the two sets. The axiom of replacement allows one to form many unions, such as the union of two sets. However, in its full generality, the axiom of union is independent from the rest of the ZFC-axioms: Replacement does not prove the existence of the union of a set of sets if the result contains an unbounded number of cardinalities. Together with the axiom schema of replacement, the axiom of union implies that one can form the union of a family of sets indexed by a set. In the context of set theories which include the axiom of separation, the axiom of union is sometimes stated in a weaker form which only produces a superset of the union of a set. For example, Kunen states the axiom as which is equivalent to Compared to the axiom stated at the top of this section, this variation asserts only one direction of the implication, rather than both directions. There is no corresponding axiom of intersection. If is a nonempty set containing , it is possible to form the intersection using the axiom schema of specification as so no separate axiom of intersection is necessary. (If A is the empty set, then trying to form the intersection of A as {c: for all D in A, c is in D} is not permitted by the axioms.

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Axiome de l'infini

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des ensembles, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, qui assure l'existence d'un ensemble infini, plus précisément d'un ensemble qui contient une représentation des entiers naturels. Il apparait dans la première axiomatisation de la théorie des ensembles, publiée par Ernst Zermelo en 1908, sous une forme cependant un peu différente de celle exposée ci-dessous.

Axiome de la réunion

En théorie des ensembles, l’axiome de la réunion (ou «axiome de la somme») est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, ZF. Il affirme que, pour tout ensemble A, il existe un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles éléments de l'ensemble A, et seulement ceux-ci (le contexte est celui d'une théorie où tous les objets sont des ensembles, en particulier A est un ensemble d'ensembles, sinon il faut le préciser).

Théorie des ensembles de Zermelo

La théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann. Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article.