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Concept
Partie entière et partie fractionnaire
Résumé
right|thumb|Représentation graphique en escalier de la fonction « partie entière ».
En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel est l'unique entier relatif (positif, négatif ou nul) tel que
On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse : est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à (ce que l'on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de , voir ci-dessous), son existence étant garantie par la propriété d'Archimède.
Dans le cas où est un rationnel , la partie entière de n'est autre que le quotient euclidien de par .
La différence entre un nombre et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale.
La partie entière (par défaut) de est notée conventionnellement . La fonction partie entière est souvent notée ou .
On utilise aussi la notation mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais floor, « plancher ») définie par l’encadrement :
vignette|Représentation graphique de la fonction « troncature ».
et la partie entière supérieure (appelée en anglais ceiling, « plafond ») définie par :
La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs.
Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.
vignette|300x300px|Représentation graphique en "dents de scie" de la fonction « partie fractionnaire ».
La partie fractionnaire d'un nombre réel , notée , ou parfois , est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :
La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux.
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