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Concept
Nombre heureux
Résumé
En mathématiques, un entier naturel non nul est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. Un nombre est malheureux lorsque ce n'est pas le cas.
Considérons un entier strictement positif et la suite récurrente obtenue en posant où est l'application qui à un entier naturel fait correspondre la somme des carrés de ses chiffres en base 10. Cette suite est dénommée suite de Porges du nom de Arthur Porges qui l'a considérée en 1945.
Contrairement à la suite de Syracuse dont le destin est inconnu (en 2023), on peut démontrer que la suite finit par boucler sur un des cycles suivants : (1), (cas où est heureux) ou (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) (cas où est malheureux) . Le principe de la démonstration consiste à prouver informatiquement le résultat pour les nombres à 1 ou 2 chiffres, à montrer que si est à 3 chiffres, et que si le nombre de chiffres de est , alors le nombre de chiffres de est .
Il existe une infinité de nombres heureux, et leur densité asymptotique est comprise entre 0,113 et 0,186 .
L'origine de l'appellation "nombre heureux" n'est pas claire. Les nombres heureux ont été portés à l'attention de Reg Allenby (auteur britannique et maître de conférences en mathématiques pures à l'Université de Leeds) par sa fille, qui les avait rencontrés à l'école. Cependant, ils « peuvent être originaires de Russie ».
Le nombre 7 est heureux, puisque sa suite associée est :
Dès que, dans la suite associée à un nombre, on rencontre 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 ou 20, la suite devient périodique et le nombre en question est malheureux, puisque
Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44 (). Les autres entiers entre 1 et 44 sont donc malheureux ().
Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000 vaut (respectivement) 1, 3, 20 et 143 ().
Les nombres heureux premiers sont 7, 13, 19, 23, 31, 79 ().
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