Méthode de Welch

En estimation spectrale, la méthode de Welch fournit un estimateur consistant de la densité spectrale de puissance. Cette méthode a été proposée par Peter D. Welch en 1967. Le biais de l'estimation est diminué en moyennant temporellement. Elle est à comparer à la méthode de Bartlett où on utilise les propriétés d'ergodicité du signal avec des moyennes statistiques. La méthode de Welch, comme la méthode de Bartlett, utilise une estimation du spectre du périodogramme ; dans les deux cas, on réduit le bruit aux dépens de la résolution en fréquence. La méthode de Welch s’apparente à la méthode de Bartlett, mais avec deux différences : L’intervalle des M points du signal est découpé en segments qui se recouvrent partiellement : le segment original est divisé en K segments de longueur N, qui sont décalés deux à deux de D points. Par exemple : Si D = N / 3, le taux de recouvrement est de 66 %. Si D = N, le taux de recouvrement est nul, et cette situation correspond à la méthode de Bartlett. Chacun des K segments est ensuite « fenêtré », ce qui consiste à introduire une pondération temporelle des données. Le fenêtrage permet d’abord d’atténuer le phénomène de Gibbs. Les fonctions de fenêtrage accordent généralement plus d’importance aux données du centre du segment qu’à celles du bord, ce qui entraîne une perte d'information. Le recouvrement des segments permet de réduire cet effet. Le fenêtrage de la méthode de Welch génère ce qui est appelé un périodogramme modifié. Une fois les données préparées de cette manière, le périodogramme de chaque segment est défini par les carrés des modules des coefficients de la transformée de Fourier discrète, puis le résultat final est la moyenne arithmétique des périodogrammes individuels. Ce procédé permet de réduire la variance des puissances individuelles. On obtient finalement des puissances en fonction des fréquences. Découpe du signal en segments se chevauchant partiellement. Fenêtrage de chaque segment. Transformée de Fourier de chaque segment. Moyenne des résultats de chaque segment.

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Estimation spectrale

L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP). Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories : Modèles autorégressif (AR) Modèles à moyenne ajustée (MA) Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA). L'approche paramétrique se décompose en trois étapes : Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.

Méthode de Welch

Méthode de Bartlett

En estimation spectrale, la méthode de Bartlett fournit un estimateur consistant de la densité spectrale de puissance. En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. C'est pourquoi on peut utiliser la fenêtre de Bartlett dans le but de lisser un périodogramme. Cette méthode est utilisée en physique, en ingénierie ainsi qu'en mathématiques appliquées. Les applications courantes de cette méthode sont l'analyse en réponse fréquentielle ainsi que l'analyse spectrale générale.

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