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Concept
Estimation spectrale
Résumé
L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP).
Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories :
Modèles autorégressif (AR)
Modèles à moyenne ajustée (MA)
Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA).
L'approche paramétrique se décompose en trois étapes :
Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.
Estimer les paramètres du modèle à partir de données disponibles.
Estimer le spectre à partir des paramètres du modèle.
Processus autorégressif
Un processus autorégressif est semblable à la fonction de transfert d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie, en ce sens où la sortie dépend de ses états précédents.
Ces méthodes d'estimation spectrale dites classiques ou non-paramétriques sont toutes basées sur le périodogramme, voici le raisonnement qui mène à celui-ci.
En considérant un processus discret x(n) aléatoire stationnaire du second ordre, on écrit sa fonction d'autocorrélation :
D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de l'autocorrélation :
Estimer la densité spectrale de puissance revient à estimer l'autocorrélation du signal. De manière rigoureuse, l'autocorrélation s'écrit :
En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. Ainsi, on calcule l'autocorrélation sur un intervalle connu :
En prenant la transformée de Fourier de cette approximation, on obtient le périodogramme :
Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale de puissance en prenant le carré de la transformée de Fourier. Il a été introduit par Arthur Schuster en 1898.
N représente le nombre d'échantillons fixés
ω représente la pulsation
Le périodogramme est un estimateur biaisé de la densité spectrale de puissance.
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